Step-by-step explanation:
Given
[tex]|x^2-x+1|=3[/tex]
[tex]\mathrm{Apply\:absolute\:rule}:\quad \mathrm{If}\:|u|\:=\:a,\:a>0\:\mathrm{then}\:u\:=\:a\:\quad \mathrm{or}\quad \:u\:=\:-a[/tex]
[tex]x^2-x+1=-3\quad \mathrm{or}\quad \:x^2-x+1=3[/tex]
solving
[tex]x^2-x+1=-3[/tex]
[tex]x^2-x+1+3=-3+3[/tex]
[tex]x^2-x+4=0[/tex]
[tex]\mathrm{Discriminant\:}\:x^2-x+4=0[/tex]
[tex]\mathrm{For\:a\:quadratic\:equation\:of\:the\:form\:}ax^2+bx+c=0\mathrm{\:the\:discriminant\:is\:}b^2-4ac[/tex]
[tex]\mathrm{For\:}\quad a=1,\:b=-1,\:c=4\quad[/tex]
[tex]b^2-4ac=\left(-1\right)^2-4\cdot \:\:1\cdot \:\:4[/tex]
= 1 - 16
= -15
[tex]\mathrm{Discriminant\:\:cannot\:be\:negative\:for\:}x\in \mathbb{R}[/tex]
[tex]\mathrm{The\:solution\:is}[/tex]
[tex]\mathrm{No\:Solution\:for}\:x\in \mathbb{R}[/tex]
similarly solving
[tex]x^2-x+1=3[/tex]
[tex]x^2-x+1-3=3-3[/tex]
[tex]x^2-x-2=0[/tex]
[tex]\mathrm{Solve\:with\:the\:quadratic\:formula}[/tex]
[tex]\mathrm{For\:a\:quadratic\:equation\:of\:the\:form\:}ax^2+bx+c=0\mathrm{\:the\:solutions\:are\:}[/tex]
[tex]x_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex]
[tex]\mathrm{For\:}\quad a=1,\:b=-1,\:c=-2:\quad x_{1,\:2}=\frac{-\left(-1\right)\pm \sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot \:1\left(-2\right)}}{2\cdot \:1}[/tex]
[tex]x=\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot \:1\left(-2\right)}}{2\cdot \:1}=2[/tex]
[tex]x=\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot \:1\left(-2\right)}}{2\cdot \:1}= -1[/tex]
[tex]\mathrm{The\:solutions\:to\:the\:quadratic\:equation\:are:}[/tex]
[tex]x=2,\:x=-1[/tex]
so
[tex]\mathrm{Combine\:Solutions:}[/tex]
[tex]\mathrm{No\:Solution}\quad \mathrm{or}\quad \left(x=-1\quad \mathrm{or}\quad \:x=2\right)[/tex]
[tex]x=-1\quad \mathrm{or}\quad \:x=2[/tex]
